Operasi Vektor

Operasi Vektor merupakan rumus matematika yang sangat penting untuk dipahami dan di pelajari. Seperti apa pengertian dan juga rumus-rumus serta contoh soalnya? Simak pembahasan berikut ini selengkapnya!

Pengertian Vektor

Yang dimaksud dengan vektor ialah besaran yang mempunyai arah. Vektor pun digambarkan dengan panah yang memperlihatkan arah vektor yang panjang garisnya disebut dengan besar vektor. Di dalam penulisannya, apabila vektor bermula dari titik A kemudian berakhir di titik B maka dapat ditulis dengan sebuah huruf kecil yang di bagian atasnya diberi tanda garis atau panah seperti \underset{V}{\rightarrow} atau bisa juga dengan\underset{AB}{\rightarrow}

Jenis – Jenis Vektor

Vektor pun memiliki beberapa jenis, berikut diantaranya:

Vektor Posisi

Vektor posisi merupakan sebuah vektor yang memiliki posisi titik awal berada di titik 0 (0,0) dengan titik ujung berada di A (a1, a2).

Vektor Basis

Vektor basis merupakan sebuah vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor dengan ruang dua dimensi  mempunyai dua vektor basis yakni   = (1, 0) dan   = (0, 1). Sedang dalam tiga dimensi dengan tiga vektor basis yakni   = (1, 0, 0),  = (0, 1, 0), dan = (0, 0,1).

Vektor Nol

Vektor nol merupakan suatu vektor dengan panjang nol yang dinotasikan \theta . Vektor nol tak memiliki arah vektor secara jelas.

Vektor Satuan

Vektor satuan merupakan suatu vektor yang memiliki panjang satu satuan. Vektor satuan dari  Pengertian Vektor

Macama-Macam Operasi Vektor

Vektor di R^{2}

Panjang suatu segmen garis yang menyatakan vektor \underset{v}{\rightarrow} atau dinotasikan dengan \underset{\left | V \right |}{\rightarrow} Panjang vektor dinyatakan sebagai:

Pengertian Vektor

vektor di R2

Panjang vektor tersebut bisa dikaitkan dengan sudut ᶿ yang dibentuk dari vektor serta sumbu x positif.

Pengertian Vektor

Vektor bisa disajikan sebagai sebuah kombinasi linier dari sebuah vektor basis dan digambarkan sebagai berikut:

Operasi Vektor di R^{2}

Operasi penjumlahan serta pengurangan vektor di R^{2}

Dua jenis vektor ataupun lebih bisa dijumlahkan dan kemudian hasilnya disebut sebagai resultan. Operasi penjumlahan vektor dengan aljabar bisa dilakukan dengan menjumlahkan setiap komponen yang seletak.

Jika  Pengertian Vektor

Secara grafis penjumlahan tersebut dapat dilihat di gambar berikut:

Dalam operasi pengurangan vektor, juga berlaku hal yang sama dengan oerasi penjumlahan yakni:

Pengertian Vektor

Berikut sifat-sifat dalam operasi penjumlahan vektor, diantaranya:

Operasi Perkalian vektor di R^{2} dengan skalar

Sebuah vektor bisa dikalikan dengan sebuah skalar (bilangan real) yang kemudian akan menghasilkan sebuah vektor baru. Bila \underset{v}{\rightarrow} merupakan vektor dan k merupakan skalar. Maka operasi perkalian vektornya adalah k. \underset{v}{\rightarrow}

Dengan beberapa ketentuan, sebagai berikut:

  • Jika k > 0, maka vektor k. \underset{v}{\rightarrow} searah dengan vektor \underset{v}{\rightarrow}
  • Jika k < 0, maka vektor k. \underset{v}{\rightarrow} berlawanan arah dengan vektor \underset{v}{\rightarrow}
  • Jika k = 0, maka vektor k. \underset{v}{\rightarrow} merupakan vektor identitas \underset{0}{\rightarrow} = _{0}^{0}

Secara grafis operasi perkalian ini bisa merubah panjang sebuah vektor dan bisa dilihat dalam tabel berikut:

Secara aljabar operasi perkalian vektor \underset{v}{\rightarrow} dengan skalar k bisa dirumuskan sebagai berikut:

Operasi Perkalian Skalar dengan Dua Vektor di R^{2}

Operasi perkalian skalar 2 vektor juga disebut sebagai hasil perkalian titik 2 vektor dan ditulis sebagai berikut:

\underset{a}{\rightarrow}.\underset{b}{\rightarrow} (dibaca : a dot b)

Operasi perkalian skalar vektor \underset{a}{\rightarrow} dan \underset{b}{\rightarrow} dapat dilakukan dengan cara mengalikan panjang vektor \underset{a}{\rightarrow} dan juga panjang vektor \underset{b}{\rightarrow} dengan cosinus ᶿ. Sudut ᶿ yang menjadi sudut antara vektor \underset{a}{\rightarrow} dan vektor \underset{b}{\rightarrow}

Sehingga: \underset{a}{\rightarrow}.\underset{b}{\rightarrow} =\underset{\left | a \right |}{\rightarrow} \underset{\left | b \right |}{\rightarrow} COS^{\theta }

Dimana:

Hal-hal yang perlu diperhatikan:

  • Hasil kali dari titik 2 vektor dapat menghasilkan sebuah skalar
  • \underset{a}{\rightarrow}.\underset{b}{\rightarrow} = \underset{a}{\rightarrow}^{2}
  • \underset{a}{\rightarrow}. \left ( \underset{b}{\rightarrow}+\underset{c}{\rightarrow} \right ) = \left ( \underset{a}{\rightarrow}+\underset{a}{\rightarrow} \right ) + ( \underset{a}{\rightarrow}.(\underset{c}{\rightarrow})

Vektor di R^{3}

Vektor yang ada pada sebuah ruang 3 dimensi (x, y, z), jarak diantara 2 titik vektor dalam R^{3} bisa diketahui dengan mengembangkan rumus phytagoras. Apabila titik A\left ( X_{1}.Y_{1}.Z_{1} \right ) dan titik B\left ( X_{2}.Y_{2}.Z_{2} \right ) maka akan diperoleh jarak AB yaitu:

Vektor \underset{AB}{\rightarrow} dapat dinyatakan ke dalam 2 bentuk, yakni dalam kolom berikut

atau juga bisa dinyatakan dalam baris yakni \underset{AB}{\rightarrow} = (b_{1}-a_{1}.b_{2}-a_{2}.b_{3}-a_{3}). Vektor pun juga bisa disajikan dalam kombinasi linier yang berasal dari vektor basis \underset{l}{\rightarrow} = (1, 0, 0), \underset{j}{\rightarrow} = (0, 1, 0), dan \underset{k}{\rightarrow} = (0, 0,0) berikut rumusannya.

Operasi Vektor di R^{3}

Secara umum operasi vektor di R^{3}, mempunyai konsep yang serupa pada operasi vektor di R^{2} dalam hal operasi penjumlahan, pengurangan, hingga perkalian. Berikut uraiannya.

Operasi penjumlahan dan pengurangan vektor di R^{3}

Dalam operasi penjumlahan maupun pengurangan vektor di R^{3} pada dasarnya tidak jauh berbeda dengan operasi vektor di R^{2} berikut diantaranya:

Dan

Operasi perkalian vektor di R^{3} dengan skalar

Jika \underset{v}{\rightarrow} merupakan vektor dan k merupakan skalar. Maka operasi perkalian vektor tersebut ialah:

Hasil perkalian dari skalar 2 vektor

Selain menggunakan rumus di R^{3}, masih ada rumus lainnya untuk mendapatkan hasil perkalian skalar 2 vektor. Jika dan maka hasil dari \underset{a}{\rightarrow}.\underset{b}{\rightarrow} adalah sebagai berikut:

Proyeksi Orthogonal vektor

Apabila vektor \underset{a}{\rightarrow} diproyeksikan ke vektor barb kemudian diberi nama \underset{c}{\rightarrow} sebagaimana gambar berikut:

Diketahui:

Contoh Soal Operasi Vektor dan Penjelasannya

Diketahui terdapat titik A(3,4,7), titik B(6,5,2), serta titik C(p,q,-8). Apabila titik A, B, dan juga titik C segaris maka tentukanlah nilai p+q.

Penjelasan:

apabila titik-titik A, B, dan C segaris maka \underset{AB}{\rightarrow} dan \underset{AC}{\rightarrow} dapat searah atau bahkan justru berlainan arah. Sehingga dengan begitu akan terdapat bilangan m yang menjadi sebuah kelipatan serta membentuk persamaan:  m. \underset{AB}{\rightarrow} = \underset{AC}{\rightarrow}

Jika titik B ada diantara titik A dan titik C, maka akan diperoleh:

\underset{AB}{\rightarrow} + \underset{BC}{\rightarrow} = \underset{AC}{\rightarrow}

Sehingga didapat penyelesaian:

Maka kelipatan m di dalam persamaan adalah:

Demikian tadi pembahan tentang operasi vektor secara lengkap. Dari mulai pengertian vektor, jenis-jenis vektor, macam-macam operasi vektor seperti operasi vektor di R^{2} dan R^{3} kemudian proyeksi orthogonal vektor serta contoh soal operasi vektor secara sederhana. Semoga bermanfaat.

Add a Comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *